contoh soal dn pembahasan limit fungsi aljabar

limit x → a
lim x → ∞ termasuk juga limit x → 0

Mulai dari yang mudah dulu, tipe soal-soal limit yang bisa diselesaikan dengan metode turunan yaitu limit x menuju angka tertentu seperti contoh berikut.

Soal No. 1

Tentukan nilai dari

Pembahasan
Dengan turunan 
 

Soal No. 2

Tentukan nilai dari

Pembahasan
Masih menggunakan turunan 
 

Soal No. 3

Nilai

A. −1/4
B. −1/2
C. 1
D. 2
E. 4 
(Soal Limit Fungsi Aljabar UN 2012)

Pembahasan
Ubah bentuk akarnya ke bentuk pangkat agar lebih mudah diturunkan seperti ini
 

Turunkan atas - bawah, kemudian masukkan angka 3 nya 

 

Contoh berikutnya limit x menuju tak berhingga dalam bentuk f(x)/g(x). Kesimpulan berikut digunakan pada nomor 4, 5 dan 6: 

 

Soal No. 4

Tentukan nilai dari

Pembahasan
Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi yang sama, m = n

 

Soal No. 5

Tentukan nilai dari

Pembahasan
Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi dari pembilang lebih tinggi dari penyebutnya, m > n

 

Soal No. 6

Tentukan nilai dari

Pembahasan
Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi dari pembilang lebih rendah dari penyebutnya, m < n

 

Contoh berikutnya tipe soal limit → ∞ yang berbentuk "Selisih Akar Kuadrat". 

 

Ini rumus yang nanti digunakan: 

 

Kita terapkan pada soal berikut

Soal No. 7

Nilai dari

adalah...

A. 3/4
B. 4/5
C. 6/5
D. 5/4
E. 4/3
(Ebtanas 1992)

Pembahasan
Limit bentuk selisih akar kuadrat dimana
a = p
dengan b = 3 dan q = −5 sehingga tengok rumus di atas



Soal No. 8

Nilai dari

adalah...

A. − 39/10
B. − 9/10
C. −21/10
D. 39/10
E. ∞

Pembahasan
Langkah pertama ubah ke bentuk selisih akar seperti soal nomor tujuh. 



Soal No. 9

Nilai dari

adalah...

A. ∞
B. 8
C. 5/4
D. 1/2
E. 0

Pembahasan
Ubah ke bentuk selisih akar seperti soal nomor tujuh juga. 



Soal No. 10

Nilai dari

adalah...

Pembahasan
Ubah ke bentuk selisih akar seperti soal nomor tujuh juga. 



Soal No. 11

Nilai dari

Pembahasan
Soal limit aljabar dengan bentuk selisih akar gunakan ketentuan berikut: 



Limit selisih akar dengan a = c, sehingga hasilnya = 0

Soal No. 12

Nilai dari

Pembahasan
Limit selisih akar dengan a > c, sehingga hasilnya = ∞

Teorema bilangan

Teorema 1 (Teorema Euclidean).

 Misalkan m dan n adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat n > 0. Jika m dibagi dengan n maka terdapat dua buah bilangan bulat unik q (quotient) dan r (remainder), sedemikian sehingga m = nq + r   …………………….. (1)

dengan 0 r < n.

Pembagi Bersama Terbesar (PBB)

Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan bulat tidak nol. Pembagi bersama terbesar (PBB – greatest common divisor atau gcd) dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar d sedemikian sehingga d | a dan d | b. Dalam hal ini kita nyatakan bahwa PBB(a, b) = d.

Algoritma Euclidean

• Algoritma Euclidean adalah algoritma untuk mencari PBB dari dua buah bilangan bulat.
• Euclid, penemu algoritma Euclidean, adalah seorang matematikawan Yunani yang menuliskan algoritmanya tersebut dalam bukunya yang terkenal, Element.
• Diberikan dua buah bilangan bulat tak-negatif m dan n (m ³ n). Algoritma Euclidean berikut mencari  pembagi bersama terbesar dari m dan n.

Relatif Prima

Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika PBB(a, b) = 1.

Aritmetika Modulo

• Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat > 0. Operasi a mod m (dibaca “amodulo m”) memberikan sisa jika a dibagi dengan m.
• Notasi: a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 r < m.
• Bilangan m disebut modulus atau modulo, dan hasil aritmetika modulo m terletak di dalam himpunan {0, 1, 2, …, m – 1}.

Kongruen

• Misalnya 38 mod 5 = 3 dan 13 mod 5 = 3, maka kita katakan 38 º 13 (mod 5) (baca: 38 kongruen dengan 13 dalam modulo 5).
• Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan > 0, maka a º b (mod m) jika mhabis membagi a – b.
• Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m, maka ditulis a º/ b (mod m) .

Teorema 2.

 Misalkan m adalah bilangan bulat positif.

1. Jika a kongruen b (mod m) dan c adalah sembarang bilangan bulat maka

(i)  (a + c) kongruen (b + c) (mod m)

(ii) ac kongruen bc (mod m)

(iii) ap kongruen bp (mod m) untuk suatu bilangan bulat tak negatif p.

2. Jika a kongruen b (mod m) dan c kongruen d (mod m), maka

(i)  (a + c) kongruen (b + d) (mod m)

(ii) ac kongruen bd (mod m)

Balikan Modulo (modulo invers)

Jika a dan m relatif prima dan m > 1, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari a modulo m. Balikan dari a modulo m adalah bilangan bulat  (a invers) sedemikian sehingga a (a invers) kongruen 1 (mod m).

Kekongruenan Lanjar

• Kekongruenan lanjar adalah kongruen yang berbentuk ax º b (mod m) dengan m adalah bilangan bulat positif, a dan b sembarang bilangan bulat,  dan x adalah peubah bilangan bulat.
• Nilai-nilai x dicari sebagai berikut: ax = b + km yang dapat disusun menjadi x = (b+km)/adengan k adalah sembarang bilangan bulat. Cobakan untuk k = 0, 1, 2, … dan k = –1, –2, … yang menghasilkan x sebagai bilangan bulat.

TEOREMA (Chinese Remainder Theorem)

 Misalkan m1, m2, …, mn adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga PBB(mi, mj) = 1 untuk i j. Maka sistem kongruen lanjar x kongruen ak (mod mk) mempunyai sebuah solusi unik modulo m = m1 × m2 × … × mn.

Aritmetika Modulo dan Kriptografi

Aritmetika modulo cocok digunakan untuk kriptografi karena dua alasan:

1. Oleh karena nilai-nilai aritmetika modulo berada dalam himpunan berhingga (0 sampai modulus m– 1), maka kita tidak perlu khawatir hasil perhitungan berada di luar himpunan.
2. Karena kita bekerja dengan bilangan bulat, maka kita tidak khawatir kehilangan informasi akibat pembulatan (round off) sebagaimana pada operasi bilangan riil.

Bilangan Prima

• Bilangan bulat positif p (p > 1) disebut bilangan prima jika pembaginya hanya 1 dan p.
• Contoh: 23 adalah bilangan prima karena ia hanya habis dibagi oleh 1 dan 23.
• Karena bilangan prima harus lebih besar dari 1, maka barisan bilangan prima dimulai dari 2, yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, …. Seluruh bilangan prima adalah bilangan ganjil, kecuali 2 yang merupakan bilangan genap.
• Bilangan selain prima disebut bilangan komposit (composite). Misalnya 20 adalah bilangan komposit karena 20 dapat dibagi oleh 2, 4, 5, dan 10, selain 1 dan 20 sendiri.

Teorema 3. (The Fundamental Theorem of Arithmetic).

 Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar atau sama dengan 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.

Teorema 4 (Teorema Fermat).

Jika p adalah bilangan prima dan a adalah bilangan bulat  yang tidak habis dibagi dengan p,  yaitu PBB(a, p) = 1, maka ap–1 kongruen 1 (mod p)

Fungsi Euler f

Fungsi Euler f medefinisikan f(n) untuk n >= 1 yang menyatakan jumlah bilangan bulat positif < n yang relatif prima dengan n.

Teorema 5.

Jika n = pq adalah bilangan komposit dengan p dan q prima, maka f(n) = f(p) f(q) = (p – 1)(q – 1).

Teorema 6.

Jika p bilangan prima dan k > 0, maka f(pk) = pk – pk-1 = pk-1(p – 1) .